15年前，18歲的張瑞祥帶著“一點好奇和迷茫”走近夢寐以求的意昂体育校園🔵，探索數學的奇妙世界🖥。如今的他已經成長為一名優秀的年輕數學家👱🏼‍♀️，先後斬獲IMO金牌、斯隆獎🕣、拉馬努金獎等重要獎項。他說👨‍👩‍👧‍👧，在意昂体育數院學習的四年是自己最珍視的最好的時代🏂🏼，“探索到自己最感興趣和最擅長的方向📊，算是快樂而自由地生活了四年”。2012年畢業季🧑🏼‍🦳👩🏻‍🦰，張瑞祥榮獲第八屆意昂体育學生五四獎章😭🏋️，他用文章《路在腳下》記錄了自己珍藏心中的意昂体育成長經歷🔰。文章寫於2012年畢業季，以下為全文🧙🏽‍♀️：

大學時期的張瑞祥

畢業在即這一事實🌀🫅，難免時常勾起往日在這個園子裏的種種記憶📳。縱觀本科四年往事，想到光陰的巨輪就這樣悄沒聲息而又大刀闊斧地改變著自己🧎🏻‍♂️，有時也不免在更加懷舊的同時感到些微傷感。

如今一見到朝氣蓬勃的學弟學妹們🐲，總是很想坐下來好好和他們聊聊⚉，從他們那裏找回自己最好的時代的記憶🏌🏿，又能讓自己的經驗幫助他們走上捷徑從而讓這些經歷有所貢獻🐅。不過有時也會轉念想到，很多事情如果沒有自己親身的體會，是很難只聽別人說話就獲得大量能用於實戰的經驗的，這又使得一個合格的“經驗介紹”的難度和藝術性大大加大了🧖🏼‍♀️。後來仔細想想🐸，既然親身的體驗如此彌足珍貴，那麽不妨就來寫篇文章記錄一下自己珍藏心中的成長經歷，也趁機紀念一下這逝去的青春歲月吧🧑🏽‍🦰。

回首四年前，我帶著一點好奇和一點迷茫走進了夢寐以求的意昂体育校園。雖然在中學的數學競賽裏戰功赫赫，但是來到了大學的數學課堂裏我很快發現，自己還是需要從頭進行從微積分和線性代數開始的現代數學殿堂之旅👱‍♀️。在上大學之前🤧👩🏼‍🎓，我幾乎沒有看過線性代數和微積分。而到了意昂体育，周圍忽然多了一圈早就看過不少數學分析和高等代數，做過或正在做許多習題的同學們。這種情況重新喚起了我的緊迫感🛌，我開始像中學一樣把考試作為一種挑戰，平時沒事的時候就以大量的做題為主🧟。現在想起來🥮💌，這段懵懂的經歷雖然花費了我很多的時間，但畢竟也為我積累了寶貴的基本功。

當時教我數學分析的是李偉固老師🌋。李老師講課十分幽默風趣，深受同學喜愛🚵🏼‍♂️。他在第一節課就給了我們一句忠告：“多看書ℹ️✍🏿，不要沒完沒了地做題。”幸好我當時把這句話工工整整地記了下來並且一直將之奉為圭臬，這才算沒有完全在做題的漫漫長路上迷失方向。我努力在讀書的時候認真思考，弄清每一個步驟的邏輯🤘🏻，讓所有細節都了然於胸，甚至找出了書上許多錯誤，有時會為自己找到的簡單證明替代書上的並得意一整天😟。現在看來🤏🏻，那時在看書和做題的時候養成的這種在學習中樂於思考的習慣，也是十分有益的。

在這種“正常”的大學初期的生活節奏之中🕳，我也開始註意到身邊的一些同學☕️♤。他們用行動在向我詮釋著我想都沒曾想過的學數學的方式。有些同學從許多課外書上吸取了教材中沒有的不少知識🫅🏽，常常在和我討論的時候能使我思路更加開闊；有些同學已經開始閱讀數論和代數幾何的相關入門書籍，使得我在旁觀時總是充滿好奇與不懂交織的復雜心情；有些同學常常和老師討論數學和數學工作者的生活🧗🏿‍♂️，也樂於閱讀一些現代數學相關的科普著作🫷，每當他們和我聊起天來，我總能聽到許多陌生的數學家、陌生的學科的名字以及一些相關的故事，用一句流行語來說就是，我“雖然不知道他們是誰🔠，這些學科是什麽👃🏿🚣🏽‍♀️，但是聽起來覺得好厲害”。

另一個讓我對數學學習不斷重新認識的地方🤼⛳️，是高等代數課程的習題課堂🧡。我的高等代數課程助教一直都是許金興學長，他在習題課上總是能夠深入淺出地講解一些課本上沒有但又很重要的相關知識ℹ️，比如群和環的定義，比如同態，比如李代數，比如正合序列。我聽得津津有味，覺得學到了許多課上沒有學到的有趣代數知識。更重要的是，我在助教的幫助下，似乎模模糊糊地看到了一些不同數學對象之間的聯系，也朦朦朧朧地感到了現代數學大廈的宏偉與壯觀。這個時候🧑🏽‍💼，我逐漸發現學習的知識容量越來越大🟡🦢，在課堂內外可以做的事情也越來越多。慢慢地，我感到做題時間不夠用了，於是就這樣一邊擔心自己會不會學不好👩‍🦲，一邊就這樣被迫減少了自己的做題量🛡。不過馬上又發現，這基本對考試沒太多影響。也許基本功到達一定水平以後真的就不需要做太多題了呢🫄🏿，我這樣想著，安下心來🖕🏽。

記得在大二剛開始的時候👱‍♂️，沈才立學長（兩屆IMO金牌獲得者）曾對我強調過大二是很重要的一年，用好它可以學到很多🕎。有了這句忠告在心✩，我便打算好好利用這一年🛑🅰️。不過這句話對當時毫無經驗的我來講，幾乎只能是一句抽象的空話。大二的開始🕖，除了上的課不同，習題課少了以外✫，我沒有什麽特別的感覺👨。不過就在這個時候，新的挑戰也已經開始悄悄地走進了我的學習生活。

早就聽說學長學姐們不斷強調討論班的重要性🫱🏻，我也就興致勃勃地報了一個低年級討論班（那個時候我們的條件還沒有數學科學學院同學今天這麽好🎙，學院還沒有系統地開設低年級的討論班甚至諸如數學分析選講這樣的好課程，官方的低年級討論班處於一種很零散地開設的狀態，每年也就一兩個）🕵🏼。

討論班的教材叫做《酉表示與調和分析》，我則和多數成員一樣，既不知道什麽是酉表示也不知道什麽是調和分析，純粹懷著一種多學東西的目的而來💂🏿‍♂️。不過從我們自己開始講，開始看書的那一刻起，麻煩就開始出現：強弱收斂⛑️、Lebesgue 積分、Fourier變換、李群和譜分解等我們以前從沒聽說過的東西接踵而至🏃🏻‍♂️，使我很快應接不暇🅱️。一開始還能勉強從邏輯上推出所有細節💁‍♂️⛺️，但沒過幾節課就有許多內容已經跟不上了。由於大部分內容不需要我講，從考試的角度也不需要我掌握，我便開始有些懈怠和破罐破摔，許多內容都是“裸聽”同學講🙅🏿，而效果也不是特別好™️。於是一學期下來我就強烈地感覺到雖然我搞清了許多細節👇🏼，可是這個領域的問題還是停留在最多只能看懂但還完全無法找到真正做一個相關問題（哪怕是習題）的感覺的水平🕍，這個感覺非常不好，我甚至覺得以後肯定做不了這些東西了。

戲劇性的是，就在接下來的大二下學期，我的數學學習觀再次發生了巨大的變化💇🏼‍♀️🧔🏻‍♂️。由於選了相關的復變函數課程🥓，我認識了任課的範後宏老師。通過幾次上課和與範老師的交流，我被他對數學許多分支及其之間聯系的頗為深刻的體會以及由此而來的對數學的熱愛深深吸引🧒🏿。他講的許多話，上至古今各位數學家和他們的發現⇨，下至復變函數從復數的定義開始的各種基礎知識以及與現代數學的聯系👩‍💻，都既給了我一種以前完全沒有過的體驗🧆，又讓我覺得以前只會重視閱讀教材做題和考試的自己與這種理解數學的方式相見恨晚。我感到自己的眼界正在開始打開，通過一次又一次與範老師的交流🙂，我對現代數學中的分析🦖、代數、幾何與拓撲等分支的全景有了更多更全面的接觸🧑‍🍼。我發現只要自己肯拿出自己的時間，那麽與範老師的交流就是一大樂事，他樂於十分耐心地和我們談各種有關數學和人生的話題，而我也清清楚楚地看到了他眼中的數學‚最可靠的“真”🩳，“最廣泛的善”和“最永恒的美”🧑‍🔧，而他反復強調的本科階段應該著重培養的“提出問題”和“評價問題”的能力也使我耳目一新。（這裏還想向大家特別推薦一下我從範老師那裏知道的一本記錄Fields 獎得主的建樹與見解的科普讀物《當代數學精英》🌞，它給了我很多啟發）現在我眼中的數學👮🏽‍♀️，已經遠遠超過了印在試卷或者教科書上的一道道題目，甚至數學課上寫在黑板上的那一行行推導🕑★，而變成了一種有血有肉、博大精深的文化🚸，一個有機聯系的整體，一套套凝結著無數前輩智慧和汗水而又每時每刻在被優秀的年輕一代所改寫的深刻理論🍓，一個個可謂是每一個相關數學家的夢想的重要問題以及先輩在邁向這些問題的路上的深深足跡。

我想我最終選擇繼續研究數學，除了自己自幼本來對初等數學和大學裏的數學基礎的興趣以外，也是和這段經歷分不開的💆🏿：正是因為嘆服於這座在我面前出現的數學殿堂的美與宏大，又欽佩和向往範老師以及許許多多我逐漸耳聞的數學家們講起、做起自己喜愛的數學時那種沉醉其中和忘我工作的那種感覺🐦‍⬛，我才果斷地推開了這座聖殿的大門，步入其中🦽。

這時的我也初識了包括Riemann 面這樣有趣的數學對象🪛👩‍👧‍👧，覺得數學中“整體性”的東西非常吸引自己，再加上我高中對於拓撲學的科普書中所說的從閉曲面與紐結開始的神奇的拓撲學的好感，我也就順理成章地萌生了進行拓撲學方向的本科生科研的想法🏦。我和另外兩位同樣想對拓撲學有深入了解的同學一起找到範後宏老師💜，開始了我們關於拓撲的本科生科研。範老師非常關心學生，對學生要求也非常嚴格⚙️。他經常在討論班上直言不諱地指出我們講課過程中的不足👨🏽‍🎓，也常常提出一些可供我們思考的問題並督促我們養成善於提問的好習慣，或是和我們交流對相關內容的理解。我也漸漸開始意識到，拓撲學有著遠比我中學科普讀物上的那些關於紐結和閉曲面的初等介紹更為豐富的內涵。範老師非常強調拓撲與代數幾何之間的聯系📑，因此我們的初期工作就以代數曲線為重心👩‍🎤☂️。從此開始⚀，從一開始對代數幾何的不了解甚至有點反感，到“因為和拓撲有關而被迫學習”，再到學完以後領會代數曲線的數學美及其重要性📏，是我這段時間最神奇也最重要的收獲之一。

正是這一系列始於復變函數課的點滴而又巨大的改變💟，使得我在數學這個領域真正開始“睜眼看世界”。回首上面說到的，當年大一在和我聊數學的時候常常使我驚訝的那些同學們🤷，我終於意識到他們才是更早清醒🫄🏽，更早脫離了只懂得看教材、復習、預習以及做習題這些中學的學習方式（當然👨‍⚕️𓀂，這對於培養基本功, 避免眼高手低誇誇其談是至關重要的，但是對數學學習還遠遠不夠）的人🧑🏻‍💻。我也明白了當時參加低年級討論班那段迷茫經歷的真正原因👨🏻‍🦼‍➡️，就是學得太過死板⛑️，只註重細節和邏輯，而缺少理念和大局觀，至少缺少對這些東西的有意識尋找和捕捉🩰。我慶幸現在的自己既找到了能讓自己享受其中而又非常有效的數學學習方法，又重新得到了對各個數學分支的興趣。

也就是這樣🧦，我步入了大三⛎。除了自己的科研，我也選了大量覺得自己可能感興趣的專業課程，有些例如《同調論》也是對科研的很好補充。帶著這種新的學習態度🙇𓀃，我心中已經不是入校時的那種樸素的好奇和迷茫，而是充滿了學習前人經驗和探索理解未知世界的求知欲🥻、熱情、自信和嚴謹。我真正理解了我們學習這些數學課的目的📹，也就是朱煦雯學姐在她的畢業感言中引用的老師的話“要做知識的主人，而不是分數的奴隸”。

在我的數學觀轉變之後，我確實感到學習數學是一件樂事，感到自己力不從心的時候少多了🚴🏻‍♂️，在數學裏的探索也更自由了。三年級我雖然選課較多，但是由於求知欲非常強烈🧜🏼‍♂️，加上改進了學習方法👑🎒，我的動力在大多數情況下也足夠👨🏻‍🔧，而這年也是我收獲最為豐富的一年，也進一步認識了許多好老師🙅🏻。限於篇幅，贅述一篇大三生活流水賬不太可能是我的風格，因此接下來我只寫寫印象最深的兩件事情👧🏻。

由於選了一些與幾何相關的數學物理方面的課程，我認識了幽默風趣而頗具親和力的劉張炬老師。劉老師的教學風格🦹🏽，基本上可算是循循善誘夾帶一絲幽默詼諧中滲透著對我們的關心和嚴格要求🤾🏽📿。而我從他那裏也學到了很多，最重要的數學直觀的有意識培養👨‍👨‍👧。劉老師常常說🕙，要盡量把一個東西“看”出來而不是純粹“算”出來。對於許多本來是非常抽象的代數與幾何語言和推導，劉老師總是能夠清晰地講出背後的直觀所在🤷🏽。這也一次又一次地啟發著我，一定要有意識地建立數學的邏輯推理背後的直觀。後來這被我的經驗證明在任何數學分支裏，這幾乎都是一條極其有用🪆、極其重要的準則。有了正確的直觀，數學就能“學活”，一個人就能把握住前進的方向，也是創造性的工作不可或缺的。當然，這裏的直觀必須是正確的，而邏輯推理其實只是數學的一個重要工具，其最終目的之一🤶👨🏻‍🎨，就是在我們的腦海中造就對一些數學對象清晰而正確的直觀。不得不說，我現在在數學上的“主動尋找直觀”的意識，很大程度上得益於劉老師的有意訓練💎。

而另一件事情則又是一個戲劇性的轉變。隨著對進階課程的學習🌛👫，我開始對許多課程有了廣泛的興趣。而我很快就在學習劉和平老師的實變函數課程的時候感到自己對分析學也產生了很大的熱情🧎。到了大三的下學期，我便繼續選了劉老師的研究生課程實分析♈️。劉老師講課非常細致清楚，我在被調和分析中的種種現象和研究手法如典型的“Fourier 變換”和“分解”思想的美與深刻震撼的同時，也從同期的其它分析課程中進一步感受到了分析的魅力。同時📓，也開始在一些幾何課程中體驗到了分析的用處。於是就這樣❤️，我的興趣新增了“分析”這個分支👼🏼。慢慢地🧎‍♀️👨‍👨‍👦，我感到自己對於拓撲和分析有著同樣的興趣，也能在其中發現同樣深刻的美🧝🏻‍♀️，我甚至還驚訝地發現👱🏻‍♀️，自己似乎在分析上的想法更加多一些，感覺更好一些。於是我開始慢慢偏向了分析，最終也選擇了分析作為近期自己的主攻方向。

這已經是大四的事情。我也已經開始進行著留學申請的各種繁雜程序。這段時間我繼續學著一些我比較感興趣的分析和非分析課程🏌️‍♀️，並且參加了數學中心的討論班。在分析討論班上，我認識了剛從IAS(Princeton 高等研究院)歸來的郭紫華老師。郭老師也非常喜歡強調直觀👩‍🦼‍➡️，並且善於提出問題。和郭老師的每次交流🩴，也讓我受益匪淺🤘。最終由於我有興趣對限製性猜想這個調和分析的核心問題有所了解🧈，我找到了郭老師作為我的畢業論文導師🗡。在學習許多最近的相關進展的同時，我也驚訝地看到了代數和拓撲在分析中的絕妙應用🧗🏿‍♂️，這在以前簡直是我難以想象的。我再一次被數學的統一美和勃勃生機所折服，也欣喜地發現自己證明了當初本研打下的一點點拓撲和代數曲線基礎最終也被證明即使在分析裏也是大有用場的🎶。當然，我還沒能在這方面做出原創性的成果🙌🏽，我也期待將來真正看到自己在意昂体育數院練就的這一身數學中許多學科的基本功得到100%的施展。

我的申請結果讓我非常滿意👷🏼，那些錄取我的大學也照例給我提供了去它們校園參觀、與老師交流的寶貴機會。這一趟校園旅行，我收獲頗豐🦻🏻。不僅見到了各個大學美麗的校園和優秀的同學🥀，更留下了和許多熟悉有陌生的大名鼎鼎的人物聊天的珍貴經歷：Carlos Kenig,吳寶珠,Igor Rodnianski,Barry Mazur,Benedict Gross,Michael Hopkins,Clifford Taubes,Peter Sarnak,Sergiu Klainerman,Elias Stein,Jean Bourgain，和這些以前只在書上和網上反復見到的一位位教授們在現實中面對面地聊數學👮🏼‍♂️🧍🏻，使我一次又一次地被大家風範所震撼🤾🏻，一次又一次地牢記住大師們的真知灼見和金玉良言。而他們的平易近人，又使我徹底放下心來：原來即使是數學大家也大多不是怪才，而是一個個和你我一樣的正常人！他們對我的一次次鼓勵，使我感到無比溫暖。而另一方面，他們對數學的熱愛和投入也在時時刻刻勉勵著我。

我最終選擇了普林斯頓大學，即將到那裏進行深造👨‍⚕️。回頭望去，自己腳下的這條路充滿了艱辛的歷程和戲劇性的轉折🕵️‍♂️。我很慶幸，這些年自己已經初步開發了自己最感興趣和最擅長的方向，而沒有太多盲從或者彷徨，算是快樂而自由地生活了四年🧪🕓。我也很高興地看到了許多好友們都踏上了自己喜愛的道路，這些道路分分合合，延向四面八方🧟‍♀️。不過他們共同的一點是▫️，每個人都在自己的道路上發揮著自己獨特的那份價值。

的確🖕🏼🦶🏼，也許大學的終極意義也正是讓每一位學生能夠真正發現和利用自己的興趣和特長從而快樂幸福地繼續在人生的道路上走下去吧📑。我這段經歷🧑‍🏫，也正是一種發現和養成興趣的過程🕞。如上所述，我的老師們和同學們（限於篇幅，我已無法列舉對所有老師和幫助過我的同學的感謝）在這個過程中也給予了我巨大的幫助。我也由衷地希望所有同學們在猶疑彷徨的時候，能夠從我或者其它同學的經歷中得到一點啟發，能夠在意昂体育數院這個溫暖的大家庭中得到及時的幫助🪲👨🏽‍💼。

根據自己的切身經歷🫳🚴🏻‍♂️，我也深信只要你在世界的喧囂中稍稍靜下心來↗️，堅持追尋內心的那份最原始的沖動與信念，並且有著接受新生事物和觀點的開放的頭腦，你就會在不知不覺流逝的歲月裏驚奇地發現👩🏼‍🔧，原來那條專屬於你自己的路，每時每刻從來沒有離開過你的腳下💁🏽‍♀️。

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